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March 28, 2022

Cross Entropy

交叉熵 (Cross Entropy) 是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。

交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

1 信息量

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：

事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B：中国队进入了2018世界杯决赛圈。

仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设 X 是一个离散型随机变量，其取值集合为 x ,概率分布函数 p(x)=Pr(X=x) , x∈χ 则定义事件 X=x_0 的信息量为：

I(x_0)=−log(p(x_0))

由于是概率所以 p(x_0) 的取值范围是 [0,1] ,绘制为图形如下，可见该函数符合我们对信息量的直觉。

image-20221111062251336

2 熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有 n 种可能性，每一种可能性都有一个概率 p(xi)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量

序号 事件 概率 p 信息量 I
A 电脑正常开机 0.7 -log(p(A))=0.36
B 电脑无法开机 0.2 -log(p(B))=1.61
C 电脑爆炸了 0.1 -log(p(C))=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

H(X)=−\sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))

其中 n 代表所有的 n 种可能性，所以上面的问题结果就是

\begin{aligned} H(X) &= −[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))] \\&= 0.7×0.36+0.2×1.61+0.1×2.30 \\&= 0.804 \end{aligned}

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

\begin{aligned} H(X)&=−\sum_{i=1}^np(xi)log(p(xi))\\ &=−p(x)log(p(x))−(1−p(x))log(1−p(x)) \end{aligned}

3 相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x) ，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler divergence）来衡量这两个分布的差异

维基百科对相对熵的定义
In the context of machine learning, D_{KL}(p‖q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q .

即如果用 P 来描述目标问题，而不是用 Q 来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中， P 往往用来表示样本的真实分布，比如 [1,0,0] 表示当前样本属于第一类。 Q 用来表示模型所预测的分布，比如 [0.7,0.2,0.1]

直观的理解就是如果用 P 来描述样本，那么就非常完美。而用 Q 来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和 P 一样完美的描述。如果我们的 Q 通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”， Q 等价于 P 。

KL散度的计算公式：

D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)})

n 为事件的所有可能性。

D_{KL} 的值越小，表示 P 分布和 Q 分布越接近

4 交叉熵

对式KL散度的计算公式变形可以得到：

\begin{aligned} D_{KL}(p||q)&=\sum_{i=1}^np(xi)log(p(xi))−\sum_{i=1}^np(xi)log(q(xi))\\ &=−H(p(x))+[−\sum_{i=1}^np(xi)log(q(xi))] \end{aligned}

等式的前一部分恰巧就是 p 的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

H(p,q)=−\sum_{i=1}^np(xi)log(q(xi))

在机器学习中，我们需要评估 label 和 predicts 之间的差距，使用KL散度刚刚好，即 D_{KL}(y||\hat{y}) ，由于KL散度中的前一部分 −H(y) 不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

5 机器学习中交叉熵的应用

5.1 为什么要用交叉熵做loss函数？

在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：

loss=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(y_i−\hat{y_i})^2

这里的 m 表示 m 个样本的， loss 为 m 个样本的 loss 均值。

MSE在线性回归问题中比较好用，那么在逻辑分类问题中还是如此么？

5.2 交叉熵在单分类问题中的使用

这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。

交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法

loss=−\sum_{i=1}^ny_ilog(\hat{y_i})

上式为一张样本的 loss 计算方法。式中 n 代表着 n 种类别。

举例说明，比如有如下样本：

SouthEast-16489642743263

对应的标签和预测值

猫 青蛙 老鼠
Label 0 1 0
Pred 0.3 0.6 0.1

那么

\begin{aligned} loss&=−(0×log(0.3)+1×log(0.6)+0×log(0.1)\\&=−log(0.6) \end{aligned}

对应一个batch的 loss 就是

loss=−\frac1m\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^ny_{ji}log(\hat{y_{ji}})

m 为当前 batch 的样本数

5.3 交叉熵在多分类问题中的使用

这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗

和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。

比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题。

SouthEast-16489643649396

对应的标签和预测值：

猫 青蛙 老鼠
Label 0 1 1
Pred 0.1 0.7 0.8

值得注意的是，这里的 Pred 不再是通过 softmax 计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到 [0,1] 之间。所有 Pred 值的和也不再为1。换句话说，就是每一个 Label 都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即

loss=−ylog(\hat{y})−(1−y)log(1−\hat{y})

注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类 loss 区分开来。

例子中可以计算为：

\begin{aligned} loss_{cat}&=−0×log(0.1)−(1−0)log(1−0.1)=−log(0.9)\\ loss_{frog}&=−1×log(0.7)−(1−1)log(1−0.7)=−log(0.7)\\ loss_{mouse}&=−1×log(0.8)−(1−1)log(1−0.8)=−log(0.8) \end{aligned}

单张样本的 loss 即为 loss=loss_{cat}+loss_{frog}+loss_{mouse}

每一个batch的loss就是：

loss=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n−y_{ji}log(\hat{y_{ji}})−(1−y_{ji})log(1−\hat{y_{ji}})

式中 m 为当前batch中的样本量， n 为类别数。

Reference

https://blog.csdn.net/tsyccnh/article/details/79163834

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